Трендовые модели в экономических исследованиях Текст научной статьи по специальности « Экономика и бизнес»

CC BY

  • Экономика и бизнес

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Фукина С.П.

В статье приводятся результаты исследования кривых роста , выражающих систематическое изменение определенного процесса. Выделены виды кривых роста , отражающие тенденции социально-экономической динамики . С помощью статистических методов и экономико-математического моделирования построена трендовая модель, характеризующая динамику развития показателя промышленного предприятия.

Похожие темы научных работ по экономике и бизнесу , автор научной работы — Фукина С.П.

Текст научной работы на тему «Трендовые модели в экономических исследованиях»

ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

старший преподаватель кафедры финансов и кредита E-mail: [email protected] Институт экономики, управления и права, г. Казань

В статье приводятся результаты исследования кривых роста, выражающих систематическое изменение определенного процесса. Выделены виды кривых роста, отражающие тенденции социально-экономической динамики. С помощью статистических методов и экономико-математического моделирования построена трендовая модель, характеризующая динамику развития показателя промышленного предприятия.

Ключевые слова: кривая, рост, тренд, временной ряд, динамика, моделирование, регрессия.

Возможность достижения предприятием поставленных целей, в том числе устойчивого развития, во многом зависит от обоснованности принимаемых управленческих решений. Изменчивость внешней и внутренней среды предприятия требует выбора адекватных решений органов управления, а эффективность системы менеджмента обусловливается правильностью оценки этапа развития предприятия (становление, рост, зрелость, спад), его возможностями и имеющимся потенциалом (материальными, финансовыми и трудовыми ресурсами). Доказано, что анализ и прогнозирование тенденций развития не могут обходиться без экономико-математического моделирования процесса функционирования социально-экономической системы (экономики страны, отрасли, предприятия). Построение экономико-математической модели предполагает приближенное описание какого-либо явления внешнего мира или процесса, выраженное с помощью математической символики.

Динамические процессы, происходящие в социально-экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно распо-

ложенных в хронологическом порядке значений определенного показателя, который в своих изменениях отражает развитие изучаемого экономического явления. Значения показателей служат основой для разработки трендовых моделей.

Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой социально-экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Тренд выражается следующим образом:

у1. у1 — временной ряд (уровни ряда); 1= 1. п — периоды (интервальный динамический ряд).

Для выявления тенденции во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей, математической статистики и экономико-математического моделирования.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики — выявление тенденции динамики конкретного показателя и прогнозирование развития изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени.

Построение трендовых моделей осуществляется на базе кривых роста. Кривые роста — это модели тенденции временного ряда, характеризующие зависимость уровней ряда от времени. Изучаемый показатель (объем продукции, выручка от реализации, прибыль и др.) характеризуется тем, что

его результат в любой момент времени ^ зависит от значения у не только в настоящее время, но и в прошедшие периоды: ¿—1,2Следовательно, для построения трендовой модели большое значение приобретают не только фактические показатели, но и данные за предшествующие этапы.

В настоящее время выделяют следующие кривые роста, выражающие те или иные качественные свойства развития:

Полиномиальные кривые роста имеют следующий вид:

у = а0 + а/ (полином первой степени — линейная форматренда);

у = а0 + а1 + а2*2 (полином второй степени — парабола);

у = а0 + а1 + а2*2 + а^3 (полином третьей степени).

Параметр ах называют линейным приростом, параметр а2 — ускорением роста, параметр а3 — изменением ускорения роста.

Установлено, что полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимирования и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В свою очередь использование экспоненциальных и степенных кривых роста предполагает зависимость дальнейшего развития от достигнутого уровня: прирост функции зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяют следующие разновидности экспоненциальных кривых: простую и модифицированную экспоненту.

Простая экспонента представлена в виде функции:

где у1 — фактические уровни временного ряда; ^ — период времени (месяц, квартал, год и т.д.);

йи Ь — положительные числа, при этом, если Ь> 1, то функция возрастает с ростом времени

а если Ь 0 кривая характеризует непрерывный рост уровней, а при b Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Наиболее обоснованным приемом выявления типа тенденции послужила проверка статистических гипотез о постоянстве показателя динамики.

Для подтверждения гипотезы о линейности трендовой модели поданным предприятия на основе расчетов скользящей средней были вычислены ее цепные абсолютные изменения и средние изменения по временным интервалам, включающим в себя по 3—4 года (табл. 3).

Неравенство средних изменений по интервалам Лк (табл. 3) позволяет отклонить гипотезу о линейности трендовой модели. Учитывая тот факт, что соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами не всегда можно выразить линейной зависимостью, в исследовании использованы нелинейные трендовые модели.

Результаты проверки гипотезы о том, что динамика выручки предприятия представляет собой экспоненциальную кривую роста, приведены в табл. 4.

Средние изменения цепных темпов роста Дк по второму и третьему интервалам практически одинаковы: 1,26347105 и 1,23886436 (табл. 4), что подтверждает гипотезу о постоянстве показателей динамики.

Для подтверждения гипотезы несущественности различий между средними изменениями цепных

Выявление типа тенденции динамики, млн руб.

Цепные абсолютные Среднее изменение

1997 1 2 752,044 0 0 0

1998 2 1 315,578 3 409,065 0 0

1999 3 6 159,574 7 986,516 4 577,451 6035,067

2000 4 16 484,397 15 799,190 7 812,674

2001 5 24 753,6 21 514,266 5 715,075

2002 6 23 304,8 25 795 4 280,734 7262,323

2003 7 29 326,6 33 036,833 7 241,833

2004 8 46 479,1 43 301,233 10 264,4

2005 9 54 098 59 045,033 15 743,8 13673,025

2006 10 76 558 81 264,667 22 219,633

2007 11 113 138 101 887,333 20 622,667

2008 12 115 966 97993,333 -3 894

2009 13 64 876 0 0 0

Выявление типа тенденции динамики

Год г Выручка ур млн руб. Скользящие средние У, , млн руб. Цепные темпы роста д; =2± У, -1 Среднее изменение поинтервалам Дк

1997 1 2 752,044 0 0 0

1998 2 1 315,578 3 409,065 0 0

1999 3 6 159,574 7 986,516 2,342729033 1,89423141

2000 4 16 484,397 15 799,19 1,978233021

2001 5 24 753,6 21 514,266 1,361732166

2002 6 23 304,8 25 795 1,198971901 1,26347105

2003 7 29 326,6 33 036,833 1,280745623

2004 8 46 479,1 43 301,233 1,310695638

2005 9 54 098 59 045,033 1,363587796 1,23886436

2006 10 76 558 81 264,667 1,376316721

2007 11 113138 101 887,333 1,253771627

2008 12 115 966 97 993,333 0,961781314

2009 13 64 876 0 0 0

Результаты расчетов показателей

Интервал aAk mAk md aI II Г-критерий t крит

I 0,496 0,286 0,288 2,1875 2,7764

темпов роста Ак по первому и второму интервалам необходимо проверить различия по ¿-критерию Стьюдента. Для этого были рассчитаны следующие статистические показатели: — среднее квадратическое отклонение:

средняя ошибка среднего изменения:

средняя случайная ошибка разности двух средних:

критерий Стьюдента: г =

Результаты расчетов приведены в табл. 5.

Согласно данным табл. 5, критическое значение ¿-критерия Стьюдента для четырех степеней свободы вариации (й1 + п2 — 2) больше его фактического значения (2,7764 > 2,1875). Следовательно, вероятность того, что различие среднегодовых темпов роста в первом и втором интервалах случайно, и гипотеза о равенстве приростов не отклоняется. На основании этого был сделан вывод, что трендовая модель может иметь экспоненциальный вид.

Для проверки гипотезы о том, что тренд может быть представлен экспоненциальной или степенной кривой роста, был применен метод аналитического выравнивания. Он предполагает, что общая тенденция развития процесса (явления) рассчитывается как функция времени:

Определение теоретических (расчетных) уровней у1 производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом аппроксимирует основную тенденцию рядадинамики.

Для определения типатрендовой модели были построены уравнения регрессии для экспоненциальной и степенной функций:

— для экспоненциальной — у( = аеы\

— для степенной — у(= а1ь.

Для выявления параметров уравнения экспоненциального и степенного трендов была произве-

дена линеаризация посредством логарифмирования каждого члена уравнения. После преобразования уравнения получили следующий вид:

— In у = ln а + bt — экспоненциальный линеаризованный тренд;

— In у = In а + b*In t — степенной линеаризованный тренд.

Расчет параметров функций был осуществлен с помощью метода наименьших квадратов, в котором в качестве решения принята точка минимума суммы квадратов отклонений между расчетными и фактическими уровнями:

где yt — выравненные (расчетные) уровни; yi — фактические уровни. Расчет параметров функций по данным динамики выручки в ОАО «КАМАЗ» был произведен с помощью пакета прикладных программ Microsoft Office Excel.

Результаты расчетов параметров линеаризованного экспоненциального уравнения представлены в табл. 6.

По данным табл. 6 получено уравнение:

In у = 1п 7,795124 + 0,328897 t. После преобразования экспоненциальная функция представлена следующим уравнением:

y = 2 428,7 e°’329t. Коэффициенты корреляции R и детерминации R2, как известно, являются статистическими оценками адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации R2 характеризует вклад фактора (факторов) в изменение результативного показателя.

Коэффициент детерминации Л2 равен 0,838809 (табл. 7). Это свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной yt, главным образом, можно объяснить изменениями времени t, следовательно, тип связи выбран верно.

Критерий Фишера ^-критерий позволил проверить достоверность уравнения регрессии, т. е. оп-

Показатели линеаризованного экспоненциального уравнения регрессии

Показатель Коэффициент Стандартная ошибка Г-статистика

^-пересечение 7,795124 0,345043 22,59176

Переменная Х1 0,328897 0,043471 7,565836

Результаты корреляционно-регрессионного моделирования выручки в ОАО «КАМАЗ» по экспоненциальной динамике

Множественный Я 0,915865

Нормированный ^-квадрат 0,824155

Стандартная ошибка регрессии 0,58646

Количество наблюдений 13

Т критич 4,844335669

Показатели линеаризованного степенного уравнения регрессии

Показатель Коэффициент Стандартная ошибка Г-статистика

^-пересечение 7,108812 0,345772 20,55922

Переменная Х1 1,722746 0,183509 9,38779

Результаты корреляционно-регрессионного моделирования выручки в ОАО «КАМАЗ» степенной динамике

Таким образом, результаты корреляционно-регрессионного моделирования характеризуют связь между выручкой и временем как функциональную и значимую. Выходит, что приведенное уравнение является приемлемым и может быть использовано в качестве трендовой модели.

Результаты расчетов параметров линеаризованного степенного уравнения по данным исследуемого предприятия представлены в табл. 8.

На основе данных табл. 8 получено уравнение: 1пу = 1п7,108812 + 1,72271п^.

Степенная функция после проведения операции потенцирования получила следующий вид:

Множественный Я 0,942887

Нормированный ^-квадрат 0,878948

Стандартная ошибка регрессии 0,486586

Количество наблюдений 13

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Рис. 2. Трендовая модельдинамики выручки ОАО «КАМАЗ» в 1997—2009 гг.

Оценка результатов моделирования денежной выручки предприятия представлена в табл. 9.

Коэффициент детерминации Л2 равен 0,889035 (табл. 9). Следовательно, решенное уравнение хорошо аппроксимирует эмпирические данные и функциональная зависимость достаточно высокая.

Степенное уравнение парной регрессии также является весьма значимым, так как К > Р

(88,13059784 > > 4,844335669), где ^критич -табличное значение ^-критерия Фишера.

Следовательно, полученное уравнение также является приемлемым и может быть использовано в качестве уравнения трендовой модели.

Анализ результатов корреляционно-регрессионного моделирования экспоненциального и степенного уравнений показал, что динамика денежной выручки ОАО «КамАЗ», выраженная в виде степенной кривой роста, имеет тесную связь с фактором времени (0,889035 > 0,838809). Исходя из этого, степенная функция является более значимой среди всех приведенных (рис. 2).

Таким образом, степенная трендовая модель У — 1222,7 11’1221, отражающая динамику выручки в ОАО «КАМАЗ», достаточно достоверно характеризует сложившуюся тенденцию.

Установленный тип динамики показателя роста денежной выручки позволит анализировать и прогнозировать тенденцию развития любого показателя предприятия.

1. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработкаданных. М.: Финансы и статистика, 1983.

2. Елисеева И. И., Рукавишников В. О. Логика прикладного статистического анализа. М: Финансы и статистика, 1982.

3. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: учебник / под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 1995.

4. Каяйкина М. С. Выбор типа линии при аналитическом выравнивании динамических рядов урожайности сельскохозяйственныхкультур // Записки ЛСХИ, Ленинград — Пушкин, 1972. Т. 196.

5. Орлова И. В., Половников В. А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2010.

Смешанная регрессионно-трендовая модель в задаче прогнозирования

физико-математические науки

  • Нечипуренко Анна Александровна , студент
  • Южный федеральный университет
  • РЕГРЕССИЯ
  • ВРЕМЕННОЙ РЯД
  • ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
  • ТРЕНД

Похожие материалы

  • Анализ модели Вольтерра «Хищник-жертва»
  • Оптимизация процесса бурения на основе полного факторного эксперимента
  • Регрессионный анализ
  • Средства стохастической подготовки обучающихся на основе информационных технологий
  • Финансовое планирование и прогнозирование на предприятии на примере ООО МТС «Илишевская»

На данном этапе прогнозирование является основой финансового планирования многих фирм и компаний, касается задач управления, оптимизации и многих других. Этим и объясняется актуальность рассматриваемой темы – задача определения будущих значений является неотъемлемой частью ежедневной работы большого числа организаций.

Существует множество моделей и методов прогнозирования будущих значений временного ряда: регрессионные модели, трендовые модели, нейросетевые модели, модели на базе цепей Маркова и т.д. Подробнее о них можно узнать в работах [1], [3], [4].

В данной статье рассматриваются модели тренда и множественной регрессии и предложен новый подход к задаче прогнозирования.

Задача множественной регрессии основана на предположении, что временной ряд, предложенный для построения прогноза, является зависимой переменной, на которую оказывают влияние независимые переменные – внешние факторы, влияние которых определяется, например, экономическими связями между переменными. Ознакомиться с классической задачей парной и множественной регрессии можно в [2].

При решении задачи в отсутствии внешних факторов временной ряд можно представить в качестве тренда. Такие модели позволяют строить долгосрочные прогнозы на основе значений конкретного ряда. Чаще всего трендовые модели представлены нелинейными уравнениями, поэтому выделяют полиномиальный, экспоненциальный, логарифмический, степенной и др. тренды. Подробнее классические задачи прогнозирования на основе трендовых моделей указаны в [5]. С помощью значений некоторых числовых характеристик (дисперсии, индекса детерминации) определяется модель, наилучшим образом приближающая временной ряд и позволяющая построить адекватный прогноз будущих значений.

Дальнейшее знакомство с данной статьей возможно при условии ознакомления с указанными выше моделями и методами.

При рассмотрении множественной регрессии зависимая и независимые переменные представляют собой временные ряды. В отдельности эти временные ряды могут обладать свойствами каких-либо трендовых моделей. Главная идея состоит в том, чтобы рассматривать смешанную регрессионно-трендовую модель. При этом возможны несколько способов построения модели. Пусть в нашем случае в качестве тренда рассматривается только зависимая переменная. Рассмотрим основные шаги построения модели.

На первом шаге рассматривается зависимая переменная y(t) в отдельности. Необходимо подобрать адекватную трендовую модель, построить временной ряд выравненных значений и найти отклонения значений полученного ряда от исходного. Данный временной ряд, состоящий из отклонений, будет являться зависимой переменной на следующем шаге.

На втором шаге рассматривается регрессионная модель, в которой в качестве матрицы А выступают независимые переменные, а в качестве прогнозируемой – ряд, полученный на предыдущем шаге. Далее строится прогноз x(t) для этого временного ряда, который на данном этапе не является решением задачи.

Для построения прогноза исходного временного ряда на третьем шаге необходимо вернуться к трендовой модели и построить прогноз, используя ряд, полученный на втором шаге. Для этого к прогнозному значению тренда необходимо прибавить значения ряда x(t).

После описание смешанного метода можно переходить к практическим результатам.

Пусть дан некоторый временной ряд. Построим его прогноз на основе регрессионной модели, модели тренда и смешанной модели и сравним полученные результаты. Данный по условию ряд тестовый, поэтому имеются его фактические будущие значения, что позволит адекватно оценить метод прогнозирования.

На рисунке 1 представлены результаты прогнозирования на основе множественной регрессии. В данном случае прогноз достаточно близок к фактическим будущим значениям переменной.

На рисунке 2 задача прогнозирования для того же самого временного ряда решена на основе предположения соответствия ряда некоторой трендовой модели. В данном случае рассматривались четыре трендовых модели (линейная, полиномиальная второй степени, экспоненциальная и степенная). Индекс детерминации оказался выше у полиномиальной модели. По графику видно, что прогнозные значения значительно отстоят от фактических.

Прогнозирование на основе модели множественной регрессии

Рисунок 1. Прогнозирование на основе модели множественной регрессии

Прогнозирование на основе полиномиального тренда

Рисунок 2. Прогнозирование на основе полиномиального тренда

Результаты прогнозирования на основе смешанной модели представлены на рисунке 3.

Прогнозирование на основе смешанной модели

Рисунок 3. Прогнозирование на основе смешанной модели

Данные результаты позволяют сделать вывод о том, что смешанная модель действительно позволяет строить прогноз, наилучшим образом приближающийся к решению.

Стоит отметить, что модель действительно работает только в том случае, когда зависимая переменная ведёт себя как некоторый тренд, причём этот тренд правильно определён на первом шаге. Поэтому как бы хороша ни была модель прогнозирования, она не может адекватно отражать все возможные ситуация. Для каждого случая необходимо своя модель. Выбор модели прогнозирования основывается на числовых характеристиках модели временного ряда, отношениями между переменными, что выражает предметная область рассматриваемого явления, а также от личного опыта специалиста, занимающегося задачами прогнозирования.

Список литературы

  1. Бокс Дж., Дженкинс Г.М. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 406 с.
  2. Колемаев В.А., Калинина В.Н., Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М.: КНОРУС, 2009.
  3. Кратович П.В., Нейросетевая модель прогнозирования временных рядов финансовых данных, статья, международный журнал «Программные продукты и системы», выпуск №1, 2010.
  4. Магнус Я.Р., Катышев, П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2004.
  5. Мамаева З.М., Введение в эконометрику. Нижний Новгород: ННГУ, 2010

Завершение формирования электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»

  • 23 ноября 2020
  • Создание электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»

    • 29 октября 2020
  • Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

    Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.