О методе фиктивных областей для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности « Математика»

CC BY
Журнал

  • Математика

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фонарев Анатолий Афанасьевич

В статье исследуется метод фиктивных областей для краевой задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностью в члене, не содержащем производных, при отсутствии ограничений на рост нелинейного члена.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Фонарев Анатолий Афанасьевич

Текст научной работы на тему «О методе фиктивных областей для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

О МЕТОДЕ ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

В статье исследуется метод фиктивных областей для краевой задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностью в члене, не содержащем производных, при отсутствии ограничений на рост нелинейного члена.

Трудности составления программ для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными при сведении краевой задачи к системе алгебраических уравнений во многом зависят от области, в которой рассматривается краевая задача. Поэтому целесообразно строить программы не для конкретных областей, а для более или менее широкого класса областей. Одним из возможных путей решения этой проблемы является замена краевой задачи на задачу, в определённом смысле близкую к ней, но заданную в более простой области, например, параллелепипеде. Такой подход получил название метода фиктивных областей.

Метод фиктивных областей, являясь актуальным методом при приближенном построении решений линейных краевых задач [1], применим при исследовании и нелинейных краевых задач. И не всегда при применении этого метода к нелинейным краевым задачам можно эффективно использовать результаты, полученные для линейных краевых задач.

В статье исследован метод фиктивных областей для краевой задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностью в члене, не содержащем производных, и без ограничения на рост этого нелинейного члена. При этом предварительно приведён результат существования обобщённого решения рассматриваемой в статье задачи Дирихле.

1. Существование обобщённого решения задачи Дирихле

Далее будем использовать обозначения и терминологию из [2]:

Е1 — пространство вещественных чисел;

Еп — п -мерное евклидово пространство, х = (х^. хп) — произвольная точка в Еп, п > 2;

О — ограниченная область в Еп с границей £, й = Ои£;

Символ икп(х), где к = (к1. кп) — мультииндекс с целыми кг > 0, означает производную

и(х) вида — д и , где |к| = к1 +. + к — порядок производной. Эх;1 . дхпп

Lm (О) — банахово пространство, состоящее из измеримых на О функций, суммируемых по О со степенью m > 1. Норма в Lm (О) определяется равенством

Измеримость и суммируемость всюду берётся в смысле Лебега. Элементами Lm (О) являются классы эквивалентных между собою на О функций.

И|2О — норма функции |Уи| в L2(О).

L¥(О) — пространство измеримых по Лебегу функций и на О, ограниченных в существенном, с нормой

||и||¥ О = тЦМ : и п и имеет произвольное конечное значение при т = п.

Рассмотрим краевую задачу Дирихле

Lu = /(х,и) (х е О), и\5 = 0, (1)

где Lu °(а..(х)их ) + а(х)и, коэффициенты а. = а. измеримы и ограничены на О,

X(хи) : °хЕ1 ® E1, /б,(x,и) = /(хи) (\и\ /6,(x,и) = /(х-,)

(и 0, что для каждого , > К0 имеем неравенство

X (x, и)и >-g(х) |и|Г-^0и2 для всех х еО и и е Е1 с \и\ > К0, где постоянная уе [1,2), у> 2 — 4/п, g (х) е Ь2/(2-у)(О) и

g(х) > 0 в О, постоянная п0 > 0 такая, что п0С2 (те, О)2 п -п0(и — у)2, где постоянная п0 > 0 такая же, как в условии 2.

Лемма 1. Если выполняются условия 1 и 2, то при , > К0 задача (4) имеет обобщенное ре-

шение из Ж2(О) и существует такая постоянная С > 0, не зависящая от ,, что для любого

обобщённого решения и(х) е ^2(О) задачи (4) имеем оценку утт тах |и(х)| n), a e L (W),

где q1 = max(q,4). И пусть область W может быть разбита на конечное число областей Wk

(к = 1. N), таких, что каждая Wk есть строго внутренняя подобласть области Gk

(к = 1. N), пересечение которой с W удовлетворяет условиям теоремы 9.3 гл. III в [2].

Тогда краевая задача (1) имеет обобщённое решение из W2(W), принадлежащее W22(W). Теорема 2 вытекает из теоремы 10.1 гл. III в [2] и теоремы 1.

Выше рассмотрена однородная задача Дирихле. При рассмотрении неоднородной задачи Дирихле её можно свести к однородной задаче. Например, если рассматривается краевая задача

Lu = f (x,u) (x e W), u\s = j, (5)

где j(x)e W2(W), то краевая задача Lu = 0 (xe W), u|s = j имеет (единственное) решение

u0(x) из W2(W) (см. §5 гл. III в [2]). Следовательно, краевая задача (5) с использованием замены u = u0 + v сводится к краевой задаче Lv = f (x,u0(x) + v) (x e W), v|s = 0.

2. Метод фиктивных областей

Пусть WcD, D — открытый параллелепипед пространства En,

Lev = F(x, v) (x e D), v|3D = ^ (6)

где Lev A (x)v^ ) + A(x)v; Л1>. (x) = a.. (x) для x eW (1, j = 1. n), Л1>. (x) = 0 для x eW

2 для x ew (1 = j); A( x) = a( x) для x eW, A( x) = 0 для x e w;

F(x,v) = f (x,v) для (x,v)e WxE1, F(x,v) = 0 для (x,v)e wxE1.

Уравнение в краевой задаче (6) строится так же, как уравнение в методе фиктивных областей в ([1], с. 117).

Для краевой задачи (6) определяется обобщённое решение из W12(D) так же, как определялось обобщённое решение для краевой задачи (1).

Утверждение 2. Если выполняются условия утверждения 1 и дополнительно v0C02(mesD)2 n 0, что

llv — ull 2!W Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.

Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка.

У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.

Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят производные более высоких порядков:

Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:

Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.

В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:

Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.

Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.

Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.

1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка. Налетайте!

2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
, где – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,
Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же выполнить проверку, подставив корни в уравнение).
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой

Ответ: общее решение:

Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот: , но хорошим стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.

Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений.

Теперь неплохо бы освежить базовые понятия урока Дифференциальные уравнения. Примеры решений. А что значит вообще решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением дифференциального уравнения.

Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение должно удовлетворять исходному уравнению . Точно так же, как и у диффуров 1-го порядка, в большинстве случаев легко выполнить проверку:

Берем наш ответ и находим производную:

Находим вторую производную:

Подставляем , и в левую часть уравнения :

Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению ).

Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

На самом деле проверка таких простейших примеров практически никогда не выполняется, но, дело в том, что навык и сама техника проверки очень пригодятся, когда вы будете решать более сложные неоднородные уравнения второго порядка. Поэтому было целесообразно сразу же ознакомить вас с алгоритмом.

Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где – константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.

Если оба корня равны нулю , то общее решение опять же упрощается: . Кстати, является общим решением того самого примитивного уравнения , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение: – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни .

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:

(конечно, формулу нужно увидеть, это приходит с опытом решения)

Получены два кратных действительных корня

Ответ: общее решение:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Желающие могут потренироваться и выполнить проверку, но она здесь будет труднее.

Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф Извлечение корней из комплексных чисел.

Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где – константы.

Косинус с синусом можно поменять местами, это не принципиально, но обычно первым записывают косинус.

Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни

Ответ: общее решение:

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ,

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:

Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант , чтобы выполнялись ОБА условия.

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие :

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: или просто

Далее берём наше общее решение и находим производную:

Используем второе начальное условие :

Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: или просто

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания уравнений системы, посетите соответствующий урок, если не знакомы с методом.

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:

Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант в общее решение :

Ответ: частное решение:

Проверка осуществляется по следующей схеме:
Сначала проверим, выполняется ли начальное условие :
– начальное условие выполнено.

Находим первую производную от ответа:

– второе начальное условие тоже выполнено.

Находим вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного дифференциального уравнения :
, что и требовалось проверить.

Таким образом, частное решение найдено верно.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Если возникли затруднения с нахождение корней характеристического уравнения, прочитайте параграф Извлечение корней из комплексных чисел урока Комплексные числа для чайников. Если не помните значения тригонометрических функций, используйте Тригонометрические таблицы.

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: .

В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так:

С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие тоже никаких проблем, общее решение:

То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.

В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:

Линейные однородные уравнения высших порядков

Всё очень и очень похоже.

Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.

Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:

Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:

Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Ответ: общее решение

Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.

Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеет ровно четыре корня.

Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так:
.

Тривиальное уравнение имеет общее решение:

Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Полагаю, практически все смогут расправиться и с однородными дифференциальными уравнениями 5-го, 6-го и высших порядков. Мне очень не хотелось записывать общие формулы, рассказывать о фундаментальной системе решений и т.д. Но, процесс конструирования общего решения вроде раскрыт мной неплохо.

На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться:

Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка

Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал.

После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений 2-го, а затем и высших порядков.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – различные действительные корни
Ответ: общее решение:
Проверка: Найдем производную:

Найдем вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного уравнения :
, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:


Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:

Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:


– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:

Пример 8: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
(так получилось, что сначала я записал синус)
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть , (значение константы получилось сразу же).

.
То есть .
Составим и решим систему:

Ответ: частное решение:
Проверка: – начальное условие выполнено.

– второе начальное условие выполнено.

Подставим и в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, здание выполнено верно.

Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение

Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам